Black-Scholes Formula (B&S)

נוסחת Black-Scholes לחישוב מחיר אופציית Call אירופאית נראית כך:

\[ C = S_0 N(d_1) - X e^{-rT} N(d_2) \]

כאשר:

• \(C\) הוא מחיר אופציית Call.
• \(S_0\) הוא מחיר הנכס הבסיסי בנקודת הזמן הנוכחית.
• \(X\) הוא מחיר המימוש של האופציה (Strike Price).
• \(T\) הוא הזמן עד לפקיעת האופציה (ביחידות של שנים).
• \(r\) הוא שיעור הריבית חסרת הסיכון (באחוזים).
• \(N(d)\) הוא פונקציית ההתפלגות המצטברת של ההתפלגות הנורמלית.

\(d_1\) ו-\(d_2\) מחושבים כ:

\[ d_1 = \frac{\ln\left(\frac{S_0}{X}\right) + \left(r + \frac{\sigma^2}{2}\right)T}{\sigma \sqrt{T}} \]

\[ d_2 = d_1 - \sigma \sqrt{T} \]

הסבר הפרמטרים:

• \(S_0\) - מחיר הנכס הבסיסי: זהו המחיר של הנכס שעליו מבוססת האופציה בנקודת הזמן הנוכחית. ככל שמחיר הנכס עולה, כך מחיר האופציה עולה (לאופציית Call).
• \(X\) - מחיר המימוש: המחיר שבו ניתן לממש את האופציה. עבור אופציית Call, ככל שמחיר המימוש נמוך יותר ביחס למחיר הנכס, כך ערך האופציה גבוה יותר.
• \(T\) - הזמן לפקיעה: זהו הזמן שנותר עד שפוקעת האופציה. ככל שהזמן לפקיעה ארוך יותר, כך יש לאופציה פוטנציאל גבוה יותר להרוויח.
• \(r\) - ריבית חסרת סיכון: זוהי הריבית שמייצגת את התשואה נטולת הסיכון לאורך התקופה עד לפקיעת האופציה. ריבית גבוהה יותר תגרום לעלייה במחיר האופציה.
• \(σ\) - סטיית התקן (Volatility): זהו מדד לתנודתיות המחיר של הנכס הבסיסי. ככל שהתנודתיות גבוהה יותר, כך מחיר האופציה גבוה יותר, כי יש סיכוי רב יותר שתהיה אפשרות לרווח משמעותי.
• \(N(d_1)\) ו-\(N(d_2)\): אלה פונקציות ההתפלגות המצטברת של ההתפלגות הנורמלית עבור \(d_1\) ו-\(d_2\), והן מייצגות את ההסתברות שהאופציה תהיה בתוך הכסף (In the Money).

סיכום

נוסחת Black-Scholes היא כלי רב עוצמה לשוויון האופציות ולשימוש במסחר באופציות. הנוסחה לוקחת בחשבון את כל הגורמים המשפיעים על מחיר האופציה, כמו מחיר הנכס, מחיר המימוש, הזמן לפקיעה, שיעור הריבית והתנודתיות.